GRÁFICAS X y R
Las cartas
de control X y R se
usan ampliamente para monitorear simultáneamente la media (promedio) y la variabilidad del proceso.
El control
del promedio del proceso, o nivel de calidad media, suele hacerse con la
gráfica de control para medias, o gráfica X. La variabilidad de proceso se puede monitorizar
con una gráfica de control para el rango,
llamada gráfica R. General mente, se llevan gráficas X y R. Separadas
para cada característica de la calidad de interés.
Las
gráficas X y R se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y
control de procesos en línea más importantes y útiles.
Los
pasos para crear las gráficas se
irán detallando paso a paso con un
ejemplo de
Contenido
de plomo en agua.
Creando una
gráfica R en Excel
Toma de
muestras:
Periódicamente
se toma una pequeña muestra (por ejemplo, de cinco unidades) del proceso, y se calculará el promedio (X) y el rango (R
) de cada una. Debe recolectarse un total
de al menos 50 medias individuales
(esto es, diez muestras de cinc o cada una) antes de calcular los límites de control. Éstos se
establecen a+3o para los promedios y rangos muéstrales.
Los
valores de X y R se
grafican por separado contra sus límites a + 3o.
Por
ejemplo:
Se ha
obtenido una gráfica del contenido de plomo en partes por billón de 5 muestras
de agua registradas diariamente por un periodo de 5 días, que se muestra a
continuación:
Estos datos servirán para
el desarrollo de las gráficas X y R. Éstos deberán ser introducidos en una hoja
de Excel como se muestra en el cuadro.
Cálculo del rango R de las
muestras:
A continuación, deberán
calcular se los rangos promedios de las muestras. El rango es la diferencia del valor
mayor de la muestra menos el valor menor
de la muestra, esto es, de manera muy abstracta, R = M – m, donde M es el mayor
y m es el menor.
Aplicando este conocimiento
a nuestro ejemplo, se calculan los valores
de los rangos muéstrales de la
siguiente forma:
Cálculo de la R promedio
(Línea Central)
Enseguida, se calculará el valor de R , que es
el promedio de los rangos muéstrales. Esto se obtiene sumando las Ri
obtenidas en todas las muestras y dividiéndolo entre el número de observaciones
realizadas.
En el ejemplo se tiene que
n = 30 porque cada uno de los 30 días se hizo 1 muestra; la suma de los rangos
deberá dividirse, entonces, entre 30.
Esto puede calcularse con la función de Excel PROMEDIO seleccionando la columna de datos correspondiente a Ri. Se
recomienda crear un apartado en el
diseño de la hoja de Excel que se esté utilizando donde se guarden estos valores, ya que se necesitarán para
cálculos posteriores.
Hasta ahora, la
tabla debe estar como sigue:
Cálculo de Límites Superior
e Inferior de los Rangos Muéstrales
Como ya se ha explicado,
los límites superior e inferior nos ayudan a deducir si nuestro gráfico se
encuentra dentro o fuera de control. Por esto es necesario ubicar su lugar en
el histograma
( que se hará posteriormente) con ayuda de las siguientes fórmulas abreviadas:
Límite de control superior
= D4 R
Límite de Control Inferior
= D3R
Donde D3 y D4 son constantes
aplicadas en nuestro ejemplo, y que se encuentran en la siguiente
tabla:
La selección de las constantes
D dependerán del número de observaciones en nuestra muestra; como nuestro
ejemplo consta de 5 observaciones, D3=0 y D4=2.114.
Así, se sustituye el valor
seleccionado en la fórmula y se obtiene que
Limite de control superior
= D 4 R
Limite de control
superior = (2.114) (9.167) = 19.38*
Limite de Control Inferior
= D3 R
Limite de control superior
= (0)(9.167) = 0*
Estos valores se usarán en
la elaboración del gráfico. Agregue una columna del mismo número de filas de muestras
(en este caso, 30) por cada valor
obtenido, es decir, 1 columna de 30 filas
con el valor 19.38 (e n cada una
de las filas) y otra columna de 30 filas
con el valor 0. Esto es para crear una
línea indicativa de los límites en la creación del gráfico. Si lo
desea, haga lo mismo con el valor del límite central de R.
En Excel, con ningún valor
seleccionado y las columnas ya creadas,
siga los siguientes
1) Dé clic en el Asistente
para Gráficos, elija el tipo de gráfico de líneas y Siguiente>.
2) Dé clic en la pestaña “Serie”
y elimine t odas las gráfica s hechas por Excel, si las hay, dando clic en
Quitar.
3) Dé clic en Agregar
4) Como ‘Rótulos de los
ejes de categorías (X)’, dé clic en el icono y proponga los valores de los días
del 1 al 30. Dé ENTER. Éstos son los valores x.
5) Como ‘Valores’ proponga
todos los valore s de Ri de la tabla y dé ENTER. Éstos son los valores y.
6) Para los límites dé
clic en Agregar, dé los mismos valores de X pero como Y proponga a los valores obtenidos como Límite Superior, en
este caso, la columna con el valor 19.38.
7) Repita la
operación pero con el valor de Límite Inferior =0 y dé clic en Siguiente>.
8) Cambie las opciones del gráfico como lo desee y dé clic
en Finalizar.
9) Se ha creado el gráfico
R de las muestras. Si lo desea, cambie el formato del tipo de
Gráfico de los límites
dando clic derecho sobre ellos y
eligiendo la opción ‘Tipo de gráfico’.
Creando una
gráfica X en Excel
En base a la primera tabla
de datos, se realizará ahora un gráfico X, que es muy parecida a la anterior;
la diferencia radica en que en lugar de
tomar R como valores de Y, se toma el valor
del promedio de X.
Cálculo de los promedios X de las
muestras (Línea Central)
En la tabla de datos se
agrega una columna y se realiza el
cálculo de los promedios, que es la suma de los elementos de la primera muestra
m entre el número de elementos,
esto es, X= ( m 1 + m2 + ... + m n)/ n. En Excel puede utilizarse
la fórmula (=PROMEDIO ( m 1: m n)), adecuado a cada ejercicio en
particular.
Aplicándolo al ejemplo, se
tiene que el valor de n=5 porque son 5 muestras en total, obteniendo los
valores de
X:
Cálculo del promedio de
promedios (X)
Como su nombre lo indica,
el promedio de promedios se calcula
sacando el promedio de los resultados obtenidos de X.
El valor de será posteriormente utilizado en
las fórmulas de cálculo de los límites superior e inferior de la gráfica, así
que es importante conservar en la mente dicho valor.
Por esto se recomienda que
una vez calculado, se enmarque o copie este valor en la misma hoja de Excel
pero en un espacio especial para facilitar la resolución de dichas fórmulas.
Ya calculados todos los promedios X en la
tabla, se calcula el valor de con la fórmula
de Excel PROMEDIO, seleccionando la columna obtenida de valores X. Hasta
ahora, se tiene la siguiente tabla:
Cálculo de
Límites Superior e Inferior de X
Los límites se calculan con
las siguientes fórmulas abreviadas:
Límite de control inferior superior
= X+ A2 R
Límite de control inferior =
X- A2R
Donde
X = Gran promedio = promedio
de los promedios muestrales
R =
Promedio de los rangos muestrales
A2 = Constante
El valor de la constante
puede consultarse en la tabla previamente
dada, en el punto “Cálculo de Límites Superior e Inferior de los Rangos Muestrales”, que es igual a 0.577 para nuestro ejemplo de 5 observaciones.
Como los valores de X y R han sido calculados a
lo largo de este ejemplo, sólo se sustituyen en las fórmulas de la siguiente
forma:
Límite de Control superior
= X+ A2 R
Límite de Control superior
= (5 .59) + (0.577)(9.17) = 10.88*
Límite de control inferior
= X- A2 R
Límite de control inferior
= (5.59) - (0.577 (9.17) = 0.30*
* De la forma anterior,
estos valores se usarán en la elaboración del gráfico. Agregue una columna del
mismo número de filas de muestras (en este caso, 30) por cada valor obtenido, es
decir, 1 columna de 30 filas con el valor 10 .88(en cada una de las fila s) y
otra columna de 30 filas con el valor 0.30. Esto es para crear una línea indicativa de los límites en la creación del
gráfico. Si lo desea, haga lo mismo con el valor del límite central de X.
Crear el
gráfico X
Como ya s e ha dicho, la diferencia de los gráficos es en
la selección de los valores de Y.
Realice la gráfica como se
indica en ‘Crear el gráfico R’, pero cambie los valores de Y
por los valores de X promedio de las muestras. De igual forma agregue series
que permitan apreciar los límites superior
e inferior de la gráfica.
El resultado
será el histograma siguiente.
Interpretación
de las Gráficas:
Con referencia a los siguientes patrones de gráfico podremos precisar si el proceso esta fuera de control o no.
Patrones fuera de control
referencias:
http://saia.psm.edu.ve/
http://www.monografias.com/trabajos27/graficos-xr/graficos-xr.shtml
http://www.aiteco.com/graficos-de-control/
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